Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos aumenta, veja:
Em um quadrilátero conseguimos formar 2 triângulos.
Considerando que em cada triângulo a soma dos ângulos internos iguais é igual a 180°, então a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero será 2 * 180º = 360º.
Em um polígono de cinco lados (pentágono) formamos 3 triângulos.
Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º * 3 = 540º
Em um polígono de seis lados (hexágono) formamos 4 triângulos.
Portanto, a soma dos ângulos internos é dada por 4 * 180º = 720º.
Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então concluímos que:
n = 3 ; Si = (3 – 2) * 180º = 1 * 180° = 180°
n = 4 ; Si = (4 – 2) * 180° = 2 * 180° = 360°
n = 5 ; Si = (5 – 2) * 180° = 3 * 180° = 540°
n = 6 ; Si = (6 – 2) * 180° = 4 * 180° = 720°
n = n ; Si = (n – 2) * 180°
Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono será calculada através da expressão:
Si = (n – 2) * 180°
Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono.
ai = Si / n
Soma dos ângulos externos de um polígono regular
A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo, independentemente da quantidade de lados, é igual a 360°.
Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.
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