Relação entre o ângulo externo e os ângulos não adjacentes

Exemplos:

a) 116=x+x-20
116+20=x+x
136=2x
x=136/2
x=68

b) 2x+10=60+x
2x-x+60-10
x=50

c) 160=90+x
160-90=x
70=x
x=70

d) 130=x+x
130=2x
x=130/2
x=65

Para entender melhor a relação entre ângulo externo e ângulos não adjacentes você precisa saber ângulos.

Condição de existência de um triângulo

Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos.

Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a soma da medida de todos os lados, a soma dos ângulos internos é sempre 180º.



Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus elementos:

♦ A, B e C são os vértices.
♦ Os lados dos triângulos são simbolizados pelo encontro dos vértices (pontos de encontros): , , segmentos de retas.
♦ Os ângulos têm duas formas de representá-los: no caso do triângulo ele tem 3 lados, conseqüentemente, 3 ângulos: Â , , Ĉ ou A C, BĈA, BÂC.

►Tipos de triângulos

♦ O triângulo pode ser classificado segundo a medida do seu lado.



Triângulo escaleno: Todos os lados e ângulos são diferentes.



Triângulos isósceles: dois lados iguais e os ângulos opostos a esses lados iguais.



Triângulo eqüilátero: Todos os lados e ângulos iguais. Concluímos que seus ângulos serão de 60°.

♦ O triângulo pode ser classificado segundo seus ângulos internos.



Triângulo retângulo: tem um ângulo que mede 90º.



Obtusângulo: tem um ângulo maior que 90°.



Acutângulo: Tem todos os ângulos menores que 90°.

►Condição de existência de um triângulo

Para construir um triângulo não podemos utilizar qualquer medida, tem que seguir a condição de existência:
Para construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.



| b - c | < a < b + c
| a - c | < b < a + c
| a - b | < c < a + b

Exemplo:



14 – 8 < 10 < 14 + 10
14 – 10 < 8 < 14 + 10
10 – 8 < 14 < 10 + 8

Vamos verificar se existe um triângulo com as seguintes medidas: 3 cm, 2 cm, 4 cm.

3<2+4 - V
2<4+3 - V
4<3+2 - V

Assim podemos concluir que este triângulo existe!

Soma dos ângulos internos e externos de qualquer polígono

Em um polígono, quanto maior o número de lados, maior a medida dos ângulos internos.
Considerando as diagonais traçadas por apenas um dos vértices de um polígono, é possível perceber que elas formam triângulos. Conforme aumentamos os lados de um polígono, a quantidade de triângulos aumenta, veja:

Em um quadrilátero conseguimos formar 2 triângulos.



Considerando que em cada triângulo a soma dos ângulos internos iguais é igual a 180°, então a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero será 2 * 180º = 360º.

Em um polígono de cinco lados (pentágono) formamos 3 triângulos.



Dessa forma, temos que a soma dos ângulos internos de um pentágono é 180º * 3 = 540º

Em um polígono de seis lados (hexágono) formamos 4 triângulos.



Portanto, a soma dos ângulos internos é dada por 4 * 180º = 720º.

Percebemos que a diferença do número de triângulos formados e o número de lados dos polígonos é sempre 2, então concluímos que:

n = 3 ; Si = (3 – 2) * 180º = 1 * 180° = 180°

n = 4 ; Si = (4 – 2) * 180° = 2 * 180° = 360°

n = 5 ; Si = (5 – 2) * 180° = 3 * 180° = 540°

n = 6 ; Si = (6 – 2) * 180° = 4 * 180° = 720°

n = n ; Si = (n – 2) * 180°

Portanto, a soma dos ângulos internos de qualquer polígono será calculada através da expressão:

Si = (n – 2) * 180°

Caso queira calcular o valor de cada ângulo interno, basta dividir a soma dos ângulos internos pelo número de lados do polígono.

ai = Si / n

Soma dos ângulos externos de um polígono regular

A soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo, independentemente da quantidade de lados, é igual a 360°.

Obs.: A soma de um ângulo interno com o seu respectivo externo é igual a 180º, isto é, eles são suplementares.

Diagonais de um polígono

Denominamos polígono uma figura formada por segmentos de reta que delimitam uma região. Os polígonos precisam ser figuras fechadas. Observe:


Os polígonos possuem os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. Dos elementos citados vamos estudar o significado de diagonais e como calcular o número de diagonais de um polígono qualquer.

Denominamos por diagonal o segmento de reta que une um vértice ao outro. O número de diagonais de um polígono é proporcional ao número de lados.



Note que na figura A temos quatro vértices, então traçamos quatro diagonais, cada uma partindo de um vértice. Mas observe que a diagonal PR é a mesma RP, e a diagonal SQ é a mesma QS, então sempre dividiremos o número de diagonais por 2. Para cálculos envolvendo o número de diagonais, utilizamos a seguinte fórmula:



A fórmula n indica o número de lados e n – 3 determina o número de diagonais que partem de um único vértice e a divisão por dois elimina a duplicidade de diagonais ocorridas em um polígono.

Exemplo : Determine o número de diagonais de um polígono com:
a) 8 lados (octógono)



O octógono possui 20 diagonais.
b) 12 lados (dodecágono)



O dodecágono possui 54 diagonais.
c) 20 lados (icoságono)



O número de diagonais de um icoságono é igual a 170.
d) 3 lados (triângulo)



O triângulo é o único polígono que não possui diagonais.

A Aluna Brenda Rocha e o Professor de matemática Luciano Reis

Aplicabilidade

Lembrando que para a maioria dos assuntos dados precisamos de equações fracionárias, temos também adição, subtração, multiplicação, divisão, entre outros.

Evasão escolar

É o abandono do aluno para com a freqüência escolar, após a matrícula de inicio de ano, bem como, desistências do aluno em prosseguir com seus estudos anuais. São vários os fatores que levam a evasão escolar. Ensino mal aplicado através de metodologia inadequada, mal preparo do professor, problemas sociais, descaso governamental e falta de recursos para freqüência escolar, como transporte e alimentação.
O ECA diz que toda criança e adolescente tem direito a educação escolar e familiar como transcreve nos artigos. O ECA possui profissionais prontos que orientam as crianças e adolescentes a voltarem para a escola se formar e quando terminar o ensino médio procurar uma faculdade , fazer cursos entres outros para que quando crescer ter uma boa profissão e um bom curriculum para o mercado de trabalho no futuro.

Classificação geral dos tipos de ângulos

Tipos de ângulos

Posição
• Colaterais: Estão no mesmo lado da transversal.
• Alternos: Estão em lados diferentes da transversal e podem ser internos ou externos.

Classificação Geral

• Colaterais internos: Estão do mesmo lado da transversal, entre as paralelas, a soma dos ângulos é 180°
• Colaterais externos: Estão do mesmo lado da transversal, fora das paralelas, a soma dos ângulos é 180°
• Colaterais adjacentes: Estão do mesmo lado da transversal, mas não na mesma região, apresentam o mesmo vértice, a soma dos ângulos é 180°
• Colaterais correspondentes: Estão do mesmo lado da transversal, mas não na mesma região e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais
• Alternos internos: Estão em lados diferentes da transversal, entre as paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais
• Alternos externos: Estão em lados diferentes da transversal, fora das paralelas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais
• Alternos comuns:Estão em lados e regiões diferentes da transversal e não apresentam o mesmo vértice, a soma de seus ângulos é 180°

Colégio: Elizabeth Souza
Dupla: Brenda Rocha e Marcus Paulo
Profº: Luciano Reis
Série: 7ª(8º ano)

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Reta r//s


Ângulos correspondentes: São congruentes.

-3 e 7
-2 e 6
-1 e 5
-4 e 8

Ângulos alternos internos: São congruentes.

-3 e 5
-4 e 6

Ângulos alternos externos: São congruentes.

-2 e 8
-1 e 7

Ângulos colaterais internos: São suplementares(soma igual a 180º).

-3 e 6
-4 e 5

Ângulos colaterais externos: São suplementares.

-2 e 7
-1 e 8

Ângulos Opostos pelo Vértice

São ângulos compostos por duas retas cujo ângulo interno ou externos a estas retas e diagonalmente opostos são congruentes.
OBS: Mais conhecido como OPV.

Exemplos:

Neste caso CôD e BôA tem o mesmo vértice e o lado CO é extensão do lado OA, acontece o mesmo com DO é extensão de OB.



Então DôC e AôB tem o mesmo vértice e o lado DO é extensão de OB, acontece o mesmo com AO é extensão de OC.

Ângulos Complementares e Suplementares

Ângulos Complementares - Dois ângulos são Complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o complemento do outro.
Exemplo:


Ângulos Suplementares - Dois ângulos são Suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o suplemento do outro.
Exemplo:

Bissetriz de um ângulo

Bissetriz: É a semi-reta com origem no vértice desse ângulo dividindo-o ao meio.

Exemplo:

Ângulos Adjacentes - São ângulos adjacentes quando são consecutivos e não possuem o mesmo vértice.
Exemplo:

Imagens de ângulos

Ângulo Raso:

Ângulo Reto:

Ângulo Obtuso:

Ângulo Nulo:

Ângulo Completo:

Ângulo Agudo:

Tipos de ângulos

Ângulo Raso: Ângulo que mede exatamente 180°.

Ângulo Reto: É um ângulo cuja medida é exatamente 90°.

Ângulos Obtusos: É um ângulo cuja medida está entre 90° e 180°.

Ângulo Nulo: Um ângulo nulo mede 0°.

Ângulo de uma volta: Ângulo que mede 360°.
OBS:Também pode ser chamado de Giro ou Completo.

Ângulo Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0° e menor do que 90°.

Ângulos

Ângulos: É a união de duas semi-retas.

Medida de um ângulo: Os ângulos possuem medidas até 360º.

Vértice: São as ligações do ângulo, ou seja, sua origem.

Exemplos de Plano, Reta e Ponto

Reta:








Plano:





Ponto:








Semi-Reta:





Retas Concorrentes:





Retas Coincidentes:







Retas Paralelas:




Ponto Médio: O segmento de reta AB terá um ponto médio (M)

Plano, Reta e Plano

Reta: É uma linha que não possui fim ao contrário da semi-reta que possui um começo e um fim.

Plano: É representado por qualquer figura geométrica.

Ponto: Local de origem de qualquer semi-reta.

Semi-retas: : É uma parte da reta que tem começo, mas não tem fim.

São vários tipos de reta dentre elas estão:

Retas Concorrentes: São retas que disputam pelo mesmo ponto.

Retas Coincidentes: São duas retas, uma em cima da outra.

Retas Paralelas: São retas que nunca se cruzam.

Ponto médio: É a metade de uma semi-reta.

Equações fracionárias

Equações Fracionárias

Toda equação fracionária algébrica possui no seu denominador uma incógnita. Devemos sempre observar as restrições, pois não podemos ter divisões por zero.
A equação abaixo é um exemplo de equação algébrica fracionária que possui restrições:


Resolução de uma Equação Algébrica Fracionária

Exemplo 1


Exemplo 2


Exemplo
A densidade de um corpo de massa igual a 600 g e volume x cm³ e diminuída de 50g/cm³ é igual a 100g/cm³. Qual é o volume desse corpo?